Calcolo Esempi

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $i$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $t^{2} i$ rispetto a $t$ è $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $j$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $(1 - t) j$ rispetto a $t$ è $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.7

Sottrai $1$ da $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 3.9

Riscrivi $- 1 j$ come $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{2}{3}$ e $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Passaggio 4.2

$\frac{2 t^{3}}{3}$ e $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Passaggio 4.3

Poiché $\frac{2 k}{3}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2 t^{3} k}{3}$ rispetto a $t$ è $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Passaggio 4.5

$3$ e $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Passaggio 4.7

$\frac{6 k}{3}$ e $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $3$ da $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Passaggio 4.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Passaggio 4.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Passaggio 4.8.2.4

Dividi $2 k t^{2}$ per $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$