Calcolo Esempi

$r (t) = \frac{{(5 t - 6)}^{4}}{3 t^{2} + 4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = {(5 t - 6)}^{4}$ e $g (t) = 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [{(5 t - 6)}^{4}] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 5 t - 6$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $3 t^{2} + 4$ .

$\frac{4 \cdot (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 t - 6$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + 0) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.7.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \cdot 5 - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 t^{2} + 4$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t^{2}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.13.1

Somma $6 t$ e $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 3.13.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(20 (3 t^{2}) + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.1

Scomponi ${(5 t - 6)}^{3}$ da $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Scomponi ${(5 t - 6)}^{3}$ da $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Scomponi ${(5 t - 6)}^{3}$ da $- 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Scomponi ${(5 t - 6)}^{3}$ da ${(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Scomponi $2$ da $20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $2$ da $20 \cdot 3 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $2$ da $20 \cdot 4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Scomponi $2$ da $- 6 (5 t - 6) t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.4

Scomponi $2$ da $2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5

Scomponi $2$ da $2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $10$ per $3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $10$ per $4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 3 (5 t) - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $- 3$ per $- 6$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t + 18) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t \cdot t + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $t$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.9.1

Sposta $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 (t \cdot t) + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.9.2

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t^{2} + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.10

Sottrai $15 t^{2}$ da $30 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (15 t^{2} + 40 + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.11

Riordina i termini.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} \cdot 2 (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{2 {(5 t - 6)}^{3} (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$