Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{3^{x}}{7 x + 6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = 7 x + 6$ .

$\frac{(7 x + 6) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [7 x + 6]}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $3$ .

$\frac{(7 x + 6) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [7 x + 6]}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 + 0)}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $7$ e $0$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} \cdot 7}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(7 x \cdot 3^{x} + 6 \cdot 3^{x}) \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x \cdot 3^{x} \ln (3) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica $7 \ln (3)$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (3^{7}) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica $6 \ln (3)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 3^{x} \ln (3^{6}) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 3^{x} \ln (729) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$\frac{3^{x} x \ln (2187) + 3^{x} \ln (729) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$