Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{6 x - 7}{7 x + 2} \cdot x^{3}$

Passaggio 1

$\frac{6 x - 7}{7 x + 2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(6 x - 7) x^{3}}{7 x + 2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = (6 x - 7) x^{3}$ e $g (x) = 7 x + 2$ .

$\frac{(7 x + 2) \frac{d}{d x} [(6 x - 7) x^{3}] - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 x - 7$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{(7 x + 2) ((6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(7 x + 2) ((6 x - 7) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $6 x - 7$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 \cdot (6 x - 7) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 + 0)) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} \cdot 6) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 \cdot x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.12

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.13

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 + 0)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Somma $7$ e $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} \cdot 7}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(7 x + 2) ((3 (6 x) + 3 \cdot - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) + (- 7 (6 x) - 7 \cdot - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 (x^{2} x)) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.1.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 (x^{2} x^{1})) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x^{2 + 1}) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.1.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x^{3}) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.1.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$\frac{(7 x + 2) (18 x^{3} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.1.3

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$\frac{(7 x + 2) (18 x^{3} - 21 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.2

Somma $18 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$\frac{(7 x + 2) (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.3

Espandi $(7 x + 2) (24 x^{3} - 21 x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x (24 x^{3} - 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x (24 x^{3}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 x (24 x^{3}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{7 \cdot 24 x \cdot x^{3} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{7 \cdot 24 (x^{3} x) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7 \cdot 24 (x^{3} x^{1}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 \cdot 24 x^{3 + 1} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{7 \cdot 24 x^{4} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.3

Moltiplica $7$ per $24$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x \cdot x^{2} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 (x^{2} x) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 (x^{2} x^{1}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x^{2 + 1} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x^{3} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.6

Moltiplica $7$ per $- 21$ .

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.7

Moltiplica $24$ per $2$ .

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 48 x^{3} + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.1.8

Moltiplica $- 21$ per $2$ .

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 48 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.4.2

Somma $- 147 x^{3}$ e $48 x^{3}$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.5.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 (x^{3} x)) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 (x^{3} x^{1})) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x^{3 + 1}) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.5.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x^{4}) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.6

Moltiplica $6$ per $- 7$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 42 x^{4} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.1.7

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 42 x^{4} + 49 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $42 x^{4}$ da $168 x^{4}$ .

$\frac{126 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} + 49 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Somma $- 99 x^{3}$ e $49 x^{3}$ .

$\frac{126 x^{4} - 50 x^{3} - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $2 x^{2}$ da $126 x^{4} - 50 x^{3} - 42 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $2 x^{2}$ da $126 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) - 50 x^{3} - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 50 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x) - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Scomponi $2 x^{2}$ da $- 42 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x) + 2 x^{2} (- 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6.4

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x)$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x) + 2 x^{2} (- 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Passaggio 5.6.5

Scomponi $2 x^{2}$ da $2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x) + 2 x^{2} (- 21)$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x - 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$