Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{2 x} - 1$ e $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1] - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Somma $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 6.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} + (- e^{2 x} - - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.5.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{2 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.1.1

Sposta $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.1.3

Somma $2 x$ e $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.3

Moltiplica $e^{2 x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x}) - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{x + 2 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.3.3

Somma $x$ e $2 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.1.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $e^{3 x}$ da $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$