Calcolo Esempi

$g (x) = {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cos (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e ${\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 6.3

Sposta ${\cos (5 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 7.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (5 x)$ .

$- \frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 8.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.3.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 \frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3.2

$- 5$ e $\frac{\sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Passaggio 8.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{5 \sin (5 x)}{2 {\cos (5 x)}^{\frac{1}{2}}}$