Calcolo Esempi

$g (u) = {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ è $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ dove $f (u) = {(1 + u^{2})}^{5}$ e $g (u) = {(1 - 2 u^{2})}^{3}$ .

${(1 + u^{2})}^{5} \frac{d}{d u} [{(1 - 2 u^{2})}^{3}] + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ è $f' (g (u)) g' (u)$ dove $f (u) = u^{3}$ e $g (u) = 1 - 2 u^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 - 2 u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d u} [1 - 2 u^{2}]) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(1 + u^{2})}^{5} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d u} [1 - 2 u^{2}]) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - 2 u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{5} (3 {(1 - 2 u^{2})}^{2} \frac{d}{d u} [1 - 2 u^{2}]) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(1 + u^{2})}^{5}$ .

$3 \cdot {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} \frac{d}{d u} [1 - 2 u^{2}] + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 2 u^{2}]$ .

$3 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [- 2 u^{2}]) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$3 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} (0 + \frac{d}{d u} [- 2 u^{2}]) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d u} [- 2 u^{2}]$ .

$3 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} \frac{d}{d u} [- 2 u^{2}] + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- 2 u^{2}$ rispetto a $u$ è $- 2 \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$3 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} (- 2 \frac{d}{d u} [u^{2}]) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- 6 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2}] + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 6 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} (2 u) + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + {(1 - 2 u^{2})}^{3} \frac{d}{d u} [{(1 + u^{2})}^{5}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ è $f' (g (u)) g' (u)$ dove $f (u) = u^{5}$ e $g (u) = 1 + u^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + u^{2}$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + {(1 - 2 u^{2})}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d u} [1 + u^{2}])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + {(1 - 2 u^{2})}^{3} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d u} [1 + u^{2}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + u^{2}$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + {(1 - 2 u^{2})}^{3} (5 {(1 + u^{2})}^{4} \frac{d}{d u} [1 + u^{2}])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Sposta $5$ alla sinistra di ${(1 - 2 u^{2})}^{3}$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 5 \cdot {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} \frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 5 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} (\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}])$

Passaggio 5.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 5 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} (0 + \frac{d}{d u} [u^{2}])$

Passaggio 5.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 5 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 5 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} (2 u)$

Passaggio 5.6

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 10 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u$ da $- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u + 10 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} u$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u$ da $- 12 {(1 + u^{2})}^{5} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u$ .

$2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (- 6 (1 + u^{2})) + 10 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} u$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u$ da $10 {(1 - 2 u^{2})}^{3} {(1 + u^{2})}^{4} u$ .

$2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (- 6 (1 + u^{2})) + 2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (5 (1 - 2 u^{2}))$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u$ da $2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (- 6 (1 + u^{2})) + 2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (5 (1 - 2 u^{2}))$ .

$2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (- 6 (1 + u^{2}) + 5 (1 - 2 u^{2}))$

Passaggio 6.2

Riordina i fattori di $2 {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} u (- 6 (1 + u^{2}) + 5 (1 - 2 u^{2}))$ .

$2 u {(1 + u^{2})}^{4} {(1 - 2 u^{2})}^{2} (- 6 (1 + u^{2}) + 5 (1 - 2 u^{2}))$