Calcolo Esempi

$g (x) = \frac{\sin (x)}{x^{3} - 2 x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{3} - 2 x$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x) \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2} - 2)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - \sin (x) (3 x^{2}) - \sin (x) \cdot - 2}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} - \sin (x) \cdot - 2}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} + 2 \sin (x)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Riordina i fattori in $x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 \sin (x) x^{2} + 2 \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 3 x^{2} \sin (x) + 2 \sin (x)}{{(x^{3} - 2 x)}^{2}}$