Calcolo Esempi

$g (t) = {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = \frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ e $g (t) = 3 - 2 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (3 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \cdot 1) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) \cdot 3 - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $(3 - 2 t) \cos (3 t)$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 \cdot ((3 - 2 t) \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 2 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [- 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 t$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (- 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \cdot 1}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.5.1

Sposta ${(1 + \sin (3 t))}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 - 2 t)}^{- 2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.5.2

Sposta ${(3 - 2 t)}^{- 2}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.5.4

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.5.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 6.5.6

Moltiplica $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ per $\frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$ .

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

Passaggio 6.5.7

Elimina il fattore comune di ${(3 - 2 t)}^{2}$ .

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Passaggio 6.5.7.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

Passaggio 6.5.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$