Calcolo Esempi

$g (t) = (\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}) - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ e $g (t) = 3 - 2 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (3 t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (u) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 2 t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.9

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2 t$ rispetto a $t$ è $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) (3 \cdot 1)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + \cos (3 t) \cdot 3) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.12

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (0 + 3 \cdot \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.13

Somma $0$ e $3 \cos (3 t)$ .

$\frac{(3 - 2 t) (3 \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.14

Sposta $3$ alla sinistra di $3 - 2 t$ .

$\frac{3 \cdot (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2 \cdot 1)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.15

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 - 2)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.16

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \cdot - 2}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.17

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}} + 0$

Passaggio 4.4.4

Somma $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ e $0$ .

$\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Riordina i termini.

$\frac{- 6 t \cos (3 t) + 2 + 9 \cos (3 t) + 2 \sin (3 t)}{{(- 2 t + 3)}^{2}}$