Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (8 x^{2} - 7 x + 12) + \ln (8)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (8 x^{2} - 7 x + 12)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 8 x^{2} - 7 x + 12$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x^{2} - 7 x + 12$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 7 x + 12] + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} - 7 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.7

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (8 (2 x) - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 2.10

Somma $16 x - 7$ e $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + \frac{d}{d x} [\ln (8)]$

Passaggio 3

Poiché $\ln (8)$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\ln (8)$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7) + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Somma $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ e $0$ .

$\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori di $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12} (16 x - 7)$ .

$(16 x - 7) \frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $16 x - 7$ per $\frac{1}{8 x^{2} - 7 x + 12}$ .

$\frac{16 x - 7}{8 x^{2} - 7 x + 12}$