Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\cot (x) - \csc (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cot (x) - \csc (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cot (x) - \csc (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) - \csc (x)]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cot (x) - \csc (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Passaggio 5

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) - (- \csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 6

Moltiplica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + 1 (\csc (x) \cot (x)))$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} (- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x))$ .

$(- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \csc^{2} (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ e $\csc^{2} (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\csc (x) \cot (x) \frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ .

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Passaggio 7.4.1

$\frac{1}{\cot (x) - \csc (x)}$ e $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)} \cot (x)$

Passaggio 7.4.2

$\frac{\csc (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$ e $\cot (x)$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{\cot (x) - \csc (x)} + \frac{\csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.6

Scomponi $\csc (x)$ da $- \csc^{2} (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $\csc (x)$ da $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) \cot (x)}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (\cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- \csc (x) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.7

Scomponi $- 1$ da $- \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) + \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.8

Scomponi $- 1$ da $\cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.9

Scomponi $- 1$ da $- (\csc (x)) - 1 (- \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.10

Riscrivi $- (\csc (x) - \cot (x))$ come $- 1 (\csc (x) - \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (- 1 (\csc (x) - \cot (x)))}{\cot (x) - \csc (x)}$

Passaggio 7.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\csc (x) (\csc (x) - \cot (x))}{\cot (x) - \csc (x)}$