Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 3

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 5.2

$\cos (2 x)$ e $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.2

La derivata di $\sec (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

$\sec (2 x)$ e $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 7.2

$\tan (2 x)$ e $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.4

$2$ e $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

Passaggio 7.6

Moltiplica $\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ per $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\tan (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.2

$2$ e $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.3

Riscrivi $\sec (2 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.4

Moltiplica $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

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Passaggio 8.4.1

Moltiplica $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ per $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.4.2

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.4.3

Eleva $\cos (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $\cos (2 x)$ .

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Passaggio 8.5.1

Scomponi $\cos (2 x)$ da $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.6

Frazioni separate.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.7

Converti da $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Passaggio 8.8

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$