Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\ln (\ln (x + 1)))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\ln (x + 1))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (\ln (x + 1))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x + 1))]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x + 1))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (\ln (x + 1))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x + 1))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (x + 1)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\ln (x + 1)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (x + 1)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{\ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1}{\ln (x + 1)}$ per $\frac{1}{\ln (\ln (x + 1))}$ .

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (\ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1)))} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} (1 + 0)$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))} \cdot 1$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))}$ per $1$ .

$\frac{1}{(x + 1) \ln (x + 1) \ln (\ln (x + 1))}$

Passaggio 5.5.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{\ln (\ln (x + 1)) \ln (x + 1) (x + 1)}$