Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Passaggio 4

$2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\tan (5 x))])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \tan (5 x)$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Passaggio 5.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\tan (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Passaggio 6

Riscrivi $\tan (5 x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{1}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Passaggio 7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Passaggio 8

Converti da $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ a $\cot (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $5 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 9.2

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 10.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) \cdot 5)$

Passaggio 10.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (\frac{2}{x} + 5 \cdot (\cot (5 x) \sec^{2} (5 x)))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ per $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} (5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x))$

Passaggio 11.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + 5 \frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

Passaggio 11.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.4.1

$5$ e $\frac{1}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)$

Passaggio 11.4.2

$\frac{5}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ e $\cot (5 x)$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \sec^{2} (5 x)$

Passaggio 11.4.3

$\frac{5 \cot (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ e $\sec^{2} (5 x)$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$

Passaggio 11.5

Per scrivere $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))} \cdot \frac{x}{x}$

Passaggio 11.6

Moltiplica $\frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x} + \frac{5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

Passaggio 11.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$

Passaggio 11.8

Riordina i fattori in $\frac{2 + 5 \cot (5 x) \sec^{2} (5 x) x}{(2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x))) x}$ .

$\frac{2 + 5 x \cot (5 x) \sec^{2} (5 x)}{x (2 \ln (x) + \ln (\tan (5 x)))}$