Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (| x^{2} - x |)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | x^{2} - x |$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| x^{2} - x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| x^{2} - x |$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [| x^{2} - x |]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x^{2} - x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Passaggio 2.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - x$ .

$\frac{1}{| x^{2} - x |} (\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x])$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x |}$ per $\frac{1}{| x^{2} - x |}$ .

$\frac{x^{2} - x}{| x^{2} - x | | x^{2} - x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{x^{2} - x}{| (x^{2} - x) (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 5

Eleva $x^{2} - x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} (x^{2} - x) |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 6

Eleva $x^{2} - x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1} {(x^{2} - x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [x^{2} - x]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1 \cdot 1)$

Passaggio 13

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Riordina i fattori di $\frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x^{2} - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Passaggio 14.2

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

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Passaggio 14.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x - x}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Passaggio 14.2.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Passaggio 14.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x^{2} - x)}^{2} |}$

Passaggio 14.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 14.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

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Passaggio 14.3.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x - x)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.1.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x \cdot x + x \cdot - 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| {(x (x - 1))}^{2} |}$

Passaggio 14.3.2

Applica la regola del prodotto a $x (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.3.3

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} ((x - 1) (x - 1)) |}$

Passaggio 14.3.4

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 14.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) |}$

Passaggio 14.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) |}$

Passaggio 14.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Passaggio 14.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 14.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 14.3.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Passaggio 14.3.5.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Passaggio 14.3.5.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) |}$

Passaggio 14.3.5.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) |}$

Passaggio 14.3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - x - x + 1) |}$

Passaggio 14.3.5.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Passaggio 14.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Passaggio 14.3.7

Semplifica.

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Passaggio 14.3.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.3.7.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Passaggio 14.3.7.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Passaggio 14.3.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 |}$

Passaggio 14.3.7.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.3.8.1

Sposta $x$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 14.3.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.9

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ .

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Passaggio 14.3.9.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} - 2 x^{3} + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.9.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 x^{3}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} |}$

Passaggio 14.3.9.3

Moltiplica per $1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Passaggio 14.3.9.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x)$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1 |}$

Passaggio 14.3.9.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} - 2 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) |}$

Passaggio 14.3.10

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 14.3.10.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 x + 1^{2}) |}$

Passaggio 14.3.10.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 14.3.10.3

Riscrivi il polinomio.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) |}$

Passaggio 14.3.10.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{| x^{2} {(x - 1)}^{2} |}$

Passaggio 14.4

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 14.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Passaggio 14.5.2

Elimina il fattore comune.

$(2 x - 1) \frac{x (x - 1)}{x (x {(x - 1)}^{2})}$

Passaggio 14.5.3

Riscrivi l'espressione.

$(2 x - 1) \frac{x - 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 14.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e ${(x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 14.6.1

Moltiplica per $1$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{x {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 14.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 14.6.2.1

Scomponi $x - 1$ da $x {(x - 1)}^{2}$ .

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Passaggio 14.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$(2 x - 1) \frac{(x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (x (x - 1))}$

Passaggio 14.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(2 x - 1) \frac{1}{x (x - 1)}$

Passaggio 14.7

Moltiplica $2 x - 1$ per $\frac{1}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$