Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{3 x - 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x^{2}}{3 x - 1}$ .

$1 \frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 x - 1}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{(3 x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (3 x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.8.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - x^{2} \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{3 x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica $\frac{3 x - 1}{x^{2}}$ per $\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{x^{2} {(3 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $3 x - 1$ da $x^{2} {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x - 1) (2 (3 x - 1) x - 3 x^{2})}{(3 x - 1) (x^{2} (3 x - 1))}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (3 x - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x - 1)}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (3 x) x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (3 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x - 3 x^{2}}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $3 x^{2}$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.5.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x \cdot x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 7.5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{1 + 2} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{3} \cdot 3 + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.5.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.5.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - 1 \cdot x^{2}}$

Passaggio 7.5.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 7.6

Scomponi $x$ da $3 x^{2} - 2 x$ .

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) - 2 x}{3 x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 7.6.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{3 x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 7.6.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{3 x^{3} - x^{2}}$

Passaggio 7.7

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3} - x^{2}$ .

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Passaggio 7.7.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) - x^{2}}$

Passaggio 7.7.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Passaggio 7.7.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (3 x - 1)}$

Passaggio 7.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.8.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

Passaggio 7.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (3 x - 1))}$

Passaggio 7.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x - 2}{x (3 x - 1)}$