Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(6 x - 2) (7 x + 4)}$ come ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = (6 x - 2) (7 x + 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $(6 x - 2) (7 x + 4)$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 10

Sposta ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 12

Moltiplica ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ per ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta ${((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}} {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 12.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 13

Semplifica $2 {((6 x - 2) (7 x + 4))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 ((6 x - 2) (7 x + 4))} \frac{d}{d x} [(6 x - 2) (7 x + 4)]$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 x - 2$ e $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \frac{d}{d x} [7 x + 4] + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15

Differenzia.

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Passaggio 15.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + \frac{d}{d x} [4]) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) (7 + 0) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.6.1

Somma $7$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} ((6 x - 2) \cdot 7 + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.6.2

Sposta $7$ alla sinistra di $6 x - 2$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 \cdot (6 x - 2) + (7 x + 4) \frac{d}{d x} [6 x - 2])$

Passaggio 15.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 15.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 15.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 15.10

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Passaggio 15.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) (6 + 0))$

Passaggio 15.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.12.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + (7 x + 4) \cdot 6)$

Passaggio 15.12.2

Sposta $6$ alla sinistra di $7 x + 4$ .

$\frac{1}{2 (6 x - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 \cdot (7 x + 4))$

Passaggio 16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x - 2) + 6 (7 x + 4))$

Passaggio 16.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x + 4))$

Passaggio 16.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{(2 (6 x) + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Passaggio 16.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 16.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{1}{(12 x + 2 \cdot - 2) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (7 (6 x) + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Passaggio 16.4.3

Moltiplica $6$ per $7$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x + 7 \cdot - 2 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Passaggio 16.4.4

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 6 (7 x) + 6 \cdot 4)$

Passaggio 16.4.5

Moltiplica $7$ per $6$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 6 \cdot 4)$

Passaggio 16.4.6

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (42 x - 14 + 42 x + 24)$

Passaggio 16.4.7

Somma $42 x$ e $42 x$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x - 14 + 24)$

Passaggio 16.4.8

Somma $- 14$ e $24$ .

$\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$

Passaggio 16.5

Riordina i fattori di $\frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)} (84 x + 10)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(12 x - 4) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.6

Scomponi $4$ da $12 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Scomponi $4$ da $12 x$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) - 4) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.6.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{(4 (3 x) + 4 (- 1)) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.6.3

Scomponi $4$ da $4 (3 x) + 4 (- 1)$ .

$(84 x + 10) \frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.7

Moltiplica $84 x + 10$ per $\frac{1}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$ .

$\frac{84 x + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.8

Elimina il fattore comune di $84 x + 10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.8.1

Scomponi $2$ da $84 x$ .

$\frac{2 (42 x) + 10}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.8.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$\frac{2 (42 x) + 2 (5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.8.3

Scomponi $2$ da $2 (42 x) + 2 (5)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{4 (3 x - 1) (7 x + 4)}$

Passaggio 16.8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.8.4.1

Scomponi $2$ da $4 (3 x - 1) (7 x + 4)$ .

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Passaggio 16.8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (42 x + 5)}{2 (2 (3 x - 1) (7 x + 4))}$

Passaggio 16.8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{42 x + 5}{2 (3 x - 1) (7 x + 4)}$