Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\sqrt{1 + \sin^{2} (x)})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + \sin^{2} (x)}$ come ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 10

Sposta ${(1 + \sin^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 12

Moltiplica ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1

Sposta ${(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}} {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 12.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 12.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 13

Differenzia.

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Passaggio 13.1

Semplifica $2 {(1 + \sin^{2} (x))}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Passaggio 13.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 13.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)])$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 14.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 14.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ è $n {u_{3}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 15

Semplifica i termini.

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Passaggio 15.1

$2$ e $\frac{1}{2 (1 + \sin^{2} (x))}$ .

$\frac{2}{2 (1 + \sin^{2} (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 15.2

$\sin (x)$ e $\frac{2}{2 (1 + \sin^{2} (x))}$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 15.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$\frac{2 \cdot \sin (x)}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 15.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 15.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2 (1 + \sin^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 15.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 16

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)} \cos (x)$

Passaggio 17

Riduci le frazioni.

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Passaggio 17.1

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Passaggio 17.2

Riordina i termini.

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{1 + \sin^{2} (x)}$