Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{2} \cdot (3 x) + 7)$

Passaggio 1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Passaggio 1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 + 2} \cdot 3 + 7)]$

Passaggio 1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} \cdot 3 + 7)]$

Passaggio 2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3 \cdot x^{3} + 7)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.5

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + 0)$

Passaggio 4.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.6.1

Somma $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2})$

Passaggio 4.6.2

$9$ e $\frac{1}{3 x^{3} + 7}$ .

$\frac{9}{3 x^{3} + 7} x^{2}$

Passaggio 4.6.3

$\frac{9}{3 x^{3} + 7}$ e $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{3 x^{3} + 7}$