Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{2 x - 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x + 1$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{(2 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $2 x - 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 \cdot (2 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.12.1

Somma $2$ e $0$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1}) \frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.12.3

$\frac{3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ e $\sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})$ .

$- \frac{(3 (2 x - 1) - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x + 1)) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{(3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Combina i termini opposti in $3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $3 (2 x)$ e $- 2 (3 x)$ .

$- \frac{(2 \cdot 3 x + 3 \cdot - 1 - 2 \cdot 3 x - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Sottrai $2 \cdot 3 x$ da $2 \cdot 3 x$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 + 0 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $3 \cdot - 1$ e $0$ .

$- \frac{(3 \cdot - 1 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{(- 3 - 2 \cdot 1) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{(- 3 - 2) \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Sottrai $2$ da $- 3$ .

$- \frac{- 5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{5 \sin (\frac{3 x + 1}{2 x - 1})}{{(2 x - 1)}^{2}}$