Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (e^{3 \cdot x^{7} - 7 \cdot x^{3} + 10 \cdot e^{x}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) \frac{d}{d x} [e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{7}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $7$ per $3$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 e^{x}]))$

Passaggio 3.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 e^{x}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} - 21 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} - 21 x^{2} + 10 e^{x}))$

Passaggio 5

Riordina i fattori di $- \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} (21 x^{6} - 21 x^{2} + 10 e^{x}))$ .

$- e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}} \sin (e^{3 x^{7} - 7 x^{3} + 10 e^{x}}) (21 x^{6} - 21 x^{2} + 10 e^{x})$