Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \log (x) + \frac{1}{x^{2}} + x^{\frac{3}{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\log (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 3

La derivata di $\log (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 4.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 4.8

Sottrai $4$ da $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Passaggio 5

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Passaggio 5.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Passaggio 5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 x^{- 3} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - 2 \frac{1}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 6.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.3.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} + \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 6.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{x \ln (10)} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} - \sin (x)$