Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 8.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 9.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ per $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Passaggio 11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1

Scomponi $e^{x} + 1$ da $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Passaggio 11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.3.1.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.3.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.3.1.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.3.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.3.2

Combina i termini opposti in $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Passaggio 12.3.2.1

Sottrai $e^{2 x}$ da $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.3.2.2

Somma $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.4.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.4.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Passaggio 12.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Passaggio 12.5.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Passaggio 12.5.3

Scomponi $u$ da $u^{2} + u$ .

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Passaggio 12.5.3.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Passaggio 12.5.3.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Passaggio 12.5.3.3

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Passaggio 12.5.3.4

Scomponi $u$ da $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Passaggio 12.5.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Passaggio 12.6

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 12.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Passaggio 12.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$