Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3} {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2 {(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (x (\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8.4

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2] + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} (2 x) + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.2

$2$ e $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{2 (2 x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} x + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12.4

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 (x^{1} x^{1})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 16

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Passaggio 18

Moltiplica ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 19

Per scrivere ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 20

${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{4 x^{2}}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 22

Moltiplica ${(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 22.1

Sposta ${(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 22.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 22.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 22.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + {(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 23

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 23.1

Semplifica ${(x^{2} - 2)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + (x^{2} - 2) \cdot 3}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 23.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{4 x^{2} + 3 \cdot (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 24

Moltiplica $\frac{1}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 25

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}})}$

Passaggio 26

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}})}$

Passaggio 26.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Passaggio 27

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 27.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{\frac{3}{3}})}$

Passaggio 27.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 {(x^{2} - 2)}^{1})}$

Passaggio 28

Semplifica.

$\frac{4 x^{2} + 3 (x^{2} - 2)}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Passaggio 29

Semplifica.

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Passaggio 29.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 (x^{2} - 2))}$

Passaggio 29.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2} + 3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 29.4.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 3 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.4.2

Somma $4 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{x (3 x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 29.5.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 (x^{1} x^{2}) + x (3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{1 + 2} + x (3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x (3 \cdot - 2)}$

Passaggio 29.5.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} + x \cdot - 6}$

Passaggio 29.5.5

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x^{3} - 6 x}$

Passaggio 29.6

Scomponi $3 x$ da $3 x^{3} - 6 x$ .

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Passaggio 29.6.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) - 6 x}$

Passaggio 29.6.2

Scomponi $3 x$ da $- 6 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)}$

Passaggio 29.6.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x^{2}) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{7 x^{2} - 6}{3 x (x^{2} - 2)}$