Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ come $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Passaggio 3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Passaggio 3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Passaggio 3.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 5.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 10

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{1 + x^{3}}$ per $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

Passaggio 12

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + x^{3}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

Passaggio 13.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

Passaggio 13.3

Riordina i termini.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$