Calcolo Esempi

$f (x) = \arctan (\frac{x - 1}{x + 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}} \cdot \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $\frac{1}{1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}}$ per $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Combina i termini opposti in $x + 1 - x - - 1$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1 - - 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{(1 + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{(\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

$\frac{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Passaggio 4.4.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 4.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\frac{({(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}}$

Passaggio 4.4.4.2

Dividi ${(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}$ per $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2} + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x (x + 1) + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + x + x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5.4

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + (x - 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.5.5

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Passaggio 4.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Passaggio 4.5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.6.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.6.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.6.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - x - x + 1}$

Passaggio 4.5.6.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{2}{x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}$

Passaggio 4.5.7

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 1}$

Passaggio 4.5.8

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 0 + 1 + 1}$

Passaggio 4.5.9

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 1 + 1}$

Passaggio 4.5.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2}{2 x^{2} + 2}$

Passaggio 4.5.11

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2$ .

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Passaggio 4.5.11.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2}$

Passaggio 4.5.11.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2}{2 (x^{2}) + 2 (1)}$

Passaggio 4.5.11.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$