Calcolo Esempi

$f (x) = 9 x \ln (6 x - 9 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Sottrai $9 x$ da $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x \ln (- 3 x)]$

Passaggio 1.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x \ln (- 3 x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x \ln (- 3 x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x \ln (- 3 x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (- 3 x)$ .

$9 (x \frac{d}{d x} [\ln (- 3 x)] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$9 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$9 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$9 (x (\frac{1}{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 (x (- \frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.2.1

$x$ e $\frac{1}{3 x}$ .

$9 (- \frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 (- \frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (- \frac{1}{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$9 (3 (\frac{1}{3}) \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.2

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$9 (1 \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.4.4

Moltiplica $\frac{d}{d x} [x]$ per $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (1 + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$9 (1 + \ln (- 3 x) \cdot 1)$

Passaggio 4.7

Moltiplica $\ln (- 3 x)$ per $1$ .

$9 (1 + \ln (- 3 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 \ln (- 3 x)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $9$ per $1$ .

$9 + 9 \ln (- 3 x)$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$9 \ln (- 3 x) + 9$