Calcolo Esempi

$f (x) = \tan (x) - x^{3} \cos (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\tan (x) - x^{3} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3} \cos (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sec^{2} (x) - (x^{3} (- \sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + 1 (x^{3} (\sin (x))) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - (\cos (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) x^{2}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 4.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 4.5.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$x^{3} \sin (x) - 3 x^{2} \cos (x) + \sec^{2} (x)$