Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) \sec^{2} (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\sin (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (x)$ .

$2 \cdot \sin (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 5

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 6

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 \sin (x) (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \sin (x) {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 9

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Riordina i termini.

$2 \sec^{2} (x) \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.4

$2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.5

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.6

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.7

Combina.

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.8

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.2.8.1

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos (x)$ .

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Passaggio 10.2.8.1.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.8.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.2.9.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.9.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.9.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.9.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 10.2.10

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Passaggio 10.2.11

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Passaggio 10.2.12

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 10.2.12.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Passaggio 10.2.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Passaggio 10.2.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Passaggio 10.2.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.2

Scomponi $\cos^{2} (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 (\sin^{2} (x) \cdot 1)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.3

Frazioni separate.

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.4

Converti da $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1)}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.6

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.7

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.8

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 10.3.9

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$2 \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x)$