Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (\arctan (5 x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, 5 x)$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (5 x)$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, 5 x)$ . Perciò, $\sin (\arctan (5 x))$ è $\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 x)}^{2}}}]$

Passaggio 1.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + {(5 (x))}^{2}}}]$

Passaggio 1.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 5^{2} x^{2}}}]$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{\sqrt{1 + 25 x^{2}}}]$

Passaggio 1.2.2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 25 x^{2}}$ come ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 25 x^{2}$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 25 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(1 + 25 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 14

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 15

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25 x^{2}$ rispetto a $x$ è $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 16

Riduci le frazioni.

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Passaggio 16.1

Moltiplica $25$ per $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 \frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 16.2

$- 25$ e $\frac{x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 16.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 18

Riduci le frazioni.

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Passaggio 18.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 18.2

$- 2$ e $\frac{25 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (25 x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 18.3

Moltiplica $25$ per $- 2$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 18.4

$\frac{- 50 x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x \cdot x}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x)}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 20

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{1 + 1}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 22

Somma $1$ e $1$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 50 x^{2}}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 23

Scomponi $2$ da $- 50 x^{2}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 24

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 24.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 ({(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 24.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 25 x^{2})}{2 {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 24.3

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 26

Per scrivere ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 28

Moltiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 28.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 28.3

Somma $1$ e $1$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 28.4

Dividi $2$ per $2$ .

$5 \frac{\frac{{(1 + 25 x^{2})}^{1} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 29

Semplifica ${(1 + 25 x^{2})}^{1}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 25 x^{2} - 25 x^{2}}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 30

Sottrai $25 x^{2}$ da $25 x^{2}$ .

$5 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 31

Somma $1$ e $0$ .

$5 \frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$

Passaggio 32

Riscrivi $\frac{\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 25 x^{2}}$ come un prodotto.

$5 (\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 + 25 x^{2}})$

Passaggio 33

Moltiplica $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 25 x^{2})}$

Passaggio 34

Moltiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + 25 x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1

Moltiplica ${(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 + 25 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1.1

Eleva $1 + 25 x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 25 x^{2})}^{1}}$

Passaggio 34.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 34.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 34.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 34.4

Somma $1$ e $2$ .

$5 \frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 35

$5$ e $\frac{1}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5}{{(1 + 25 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 36

Riordina i termini.

$\frac{5}{{(25 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$