Calcolo Esempi

$f (x) = n \ln (1 + \frac{x}{n})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ è $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ dove $f (n) = n$ e $g (n) = \ln (1 + \frac{x}{n})$ .

$n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{x}{n})] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ è $f' (g (n)) g' (n)$ dove $f (n) = \ln (n)$ e $g (n) = 1 + \frac{x}{n}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$n (\frac{1}{u} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{x}{n}$ .

$n (\frac{1}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{1 + \frac{x}{n}}$ e $n$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{x}{n}$ rispetto a $n$ è $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $1$ rispetto a $n$ è $0$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d n} [\frac{x}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{x}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.5

Poiché $x$ è costante rispetto a $n$ , la derivata di $\frac{x}{n}$ rispetto a $n$ è $x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$\frac{n}{1 + \frac{x}{n}} (x \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.6.1

$x$ e $\frac{n}{1 + \frac{x}{n}}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi $\frac{1}{n}$ come $n^{- 1}$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 3.8

$\frac{x n}{1 + \frac{x}{n}}$ e $n^{- 2}$ .

$- \frac{x n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 4

Moltiplica $n$ per $n^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $n^{- 2}$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n)}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 4.2

Moltiplica $n^{- 2}$ per $n$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $n$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x (n^{- 2} n^{1})}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x n^{- 2 + 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 4.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$- \frac{x n^{- 1}}{1 + \frac{x}{n}} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 5

Sposta $n^{- 1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \frac{d}{d n} [n]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ è $n \cdot n^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot 1$

Passaggio 7

Moltiplica $\ln (1 + \frac{x}{n})$ per $1$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n})$

Passaggio 8

Per scrivere $\ln (1 + \frac{x}{n})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \ln (1 + \frac{x}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Passaggio 9

$\ln (1 + \frac{x}{n})$ e $\frac{(1 + \frac{x}{n}) n}{(1 + \frac{x}{n}) n}$ .

$- \frac{x}{(1 + \frac{x}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) ((1 + \frac{x}{n}) n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{(1 + \frac{x}{n}) n}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (1 n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.3.1.1.1

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $n$ .

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Passaggio 11.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + \frac{x}{n} n)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) (n + x)}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.3.2

Riordina i fattori in $- x + \ln (1 + \frac{x}{n}) n + \ln (1 + \frac{x}{n}) x$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{1 n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 11.4.1

Moltiplica $n$ per $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x}{n} n}$

Passaggio 11.4.2

$\frac{x}{n}$ e $n$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Passaggio 11.4.3

Elimina il fattore comune di $n$ .

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Passaggio 11.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + \frac{x n}{n}}$

Passaggio 11.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{- x + n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n})}{n + x}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{n \ln (1 + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Passaggio 11.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{n \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Passaggio 11.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (1 + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Passaggio 11.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n}{n} + \frac{x}{n}) - x}{n + x}$

Passaggio 11.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{n \ln (\frac{n + x}{n}) + x \ln (\frac{n + x}{n}) - x}{n + x}$