Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x) \cdot \arcsin (x) - \frac{e^{x}}{x} + 1$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) \cdot \arcsin (x) - \frac{e^{x}}{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (x) \cdot \arcsin (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \arcsin (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arcsin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\ln (x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

$\ln (x)$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.5

$\arcsin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{x}]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x}] + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{e^{x}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{e^{x}}{x}$ per $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 3.8

Somma $- \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + 0$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Somma $\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ e $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

Riordina i termini.

$\frac{\arcsin (x)}{x} - \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}} + \frac{\ln (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}}$