Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x) \cdot \log_{5} (\sin (x))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \log_{5} (\sin (x))$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\log_{5} (\sin (x))] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log_{5} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\ln (x) (\frac{1}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3

$\frac{1}{\sin (x) \ln (5)}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)} \cos (x) + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 5

$\frac{\ln (x)}{\sin (x) \ln (5)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \log_{5} (\sin (x)) \frac{1}{x}$

Passaggio 7

$\log_{5} (\sin (x))$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)} + \frac{\log_{5} (\sin (x))}{x}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riordina i termini.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cos (x)}{\sin (x) \ln (5)}$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1

Frazioni separate.

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2.2

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)} \cot (x)$

Passaggio 8.2.3

$\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ e $\cot (x)$ .

$\frac{\log_{5} (\sin (x))}{x} + \frac{\ln (x) \cot (x)}{\ln (5)}$