Calcolo Esempi

$f (x) = \log (\log (x^{2} - 3))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = \log (x^{2} - 3)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\log (x^{2} - 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\log (x^{2} - 3)$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (x^{2} - 3)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{2} - 3$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)} (\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3])$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10)}$ per $\frac{1}{\log (x^{2} - 3) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln (10) (\log (x^{2} - 3) \ln (10))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 4

Eleva $\ln (10)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 5

Eleva $\ln (10)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{(x^{2} - 3) {\ln (10)}^{1 + 1} \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x + 0)$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} (2 x)$

Passaggio 11.2

$2$ e $\frac{1}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$ .

$\frac{2}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)} x$

Passaggio 11.3

$\frac{2}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{(x^{2} - 3) \ln^{2} (10) \log (x^{2} - 3)}$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x}{(x^{2} \ln^{2} (10) - 3 \ln^{2} (10)) \log (x^{2} - 3)}$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$\frac{2 x}{\log (x^{2} - 3) (x^{2} \ln^{2} (10) - 3 \ln^{2} (10))}$