Calcolo Esempi

$f (x) = \log (x^{2} - \frac{1}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log (x)$ e $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\log (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3

Moltiplica.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2} + 0)$

Passaggio 4.5.2

Somma $2 x + x^{- 2}$ e $0$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + x^{- 2})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - \frac{1}{x}) \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{1}{x} \ln (10)} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.3

$\ln (10)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}} (2 x + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{x^{2} \ln (10) - \frac{\ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.5.1

Per scrivere $x^{2} \ln (10)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x}{x} - \frac{\ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{2} \ln (10) x - \ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.5.3.1

Sposta $x$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x \cdot x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.5.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 5.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1} x^{2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.5.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{1 + 2} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.5.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{1}{\frac{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}{x}}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) (1 \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)})$

Passaggio 5.7

Moltiplica $\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ per $1$ .

$(2 x + \frac{1}{x^{2}}) \frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $2 x + \frac{1}{x^{2}}$ per $\frac{x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ .

$\frac{(2 x + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.9.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(\frac{2 x \cdot x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}) x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x \cdot x^{2} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.9.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.9.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} x) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.9.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 5.9.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} x^{1}) + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.9.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2 x^{2 + 1} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.9.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}} x}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.10

$\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.11

Riduci l'espressione $\frac{(2 x^{3} + 1) x}{x^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.11.1

Scomponi $x$ da $(2 x^{3} + 1) x$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x^{2}}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.11.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.11.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x (2 x^{3} + 1)}{x \cdot x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.11.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2 x^{3} + 1}{x}}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.12

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$

Passaggio 5.13

Moltiplica $\frac{2 x^{3} + 1}{x}$ per $\frac{1}{x^{3} \ln (10) - \ln (10)}$ .

$\frac{2 x^{3} + 1}{x (x^{3} \ln (10) - \ln (10))}$