Calcolo Esempi

$f (z) = z^{2} \sqrt[3]{2 z - 5}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2 z - 5}$ come ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = z^{2}$ e $g (z) = {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$z^{2} \frac{d}{d z} [{(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ è $f' (g (z)) g' (z)$ dove $f (z) = z^{\frac{1}{3}}$ e $g (z) = 2 z - 5$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 z - 5$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$z^{2} (\frac{1}{3} {(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$z^{2} (\frac{{(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(2 z - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$z^{2} (\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e $z^{2}$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d z} [2 z - 5] + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 z - 5$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d z} [2 z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 10

Poiché $2$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $2 z$ rispetto a $z$ è $2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + \frac{d}{d z} [- 5]) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 13

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 + 0) + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 2 + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 14.2

$\frac{z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2$ .

$\frac{z^{2} \cdot 2}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 14.3

Sposta $2$ alla sinistra di $z^{2}$ .

$\frac{2 \cdot z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d z} [z^{2}]$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (2 z)$

Passaggio 16

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$

Passaggio 17

Combina $\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2 {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} z$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 17.1

Sposta ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 17.2

Per scrivere $2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 17.3

$2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 z^{2}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 17.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 z^{2} + 2 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19

Moltiplica ${(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 19.1

Sposta ${(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z ({(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}} {(2 z - 5)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 19.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z {(2 z - 5)}^{1}}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 20

Semplifica $6 z {(2 z - 5)}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z - 5)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21

Semplifica.

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Passaggio 21.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 z^{2} + 6 z (2 z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 21.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 21.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z \cdot z + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.1.2

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 21.2.1.2.1

Sposta $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 (z \cdot z) + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.1.2.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{2 z^{2} + 6 \cdot 2 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.1.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} + 6 z \cdot - 5}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $6$ .

$\frac{2 z^{2} + 12 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.2.2

Somma $2 z^{2}$ e $12 z^{2}$ .

$\frac{14 z^{2} - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3

Scomponi $2 z$ da $14 z^{2} - 30 z$ .

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Passaggio 21.3.1

Scomponi $2 z$ da $14 z^{2}$ .

$\frac{2 z (7 z) - 30 z}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3.2

Scomponi $2 z$ da $- 30 z$ .

$\frac{2 z (7 z) + 2 z (- 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 21.3.3

Scomponi $2 z$ da $2 z (7 z) + 2 z (- 15)$ .

$\frac{2 z (7 z - 15)}{3 {(2 z - 5)}^{\frac{2}{3}}}$