Calcolo Esempi

$f (z) = \frac{2 \cos (z)}{z + 1}$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $\frac{2 \cos (z)}{z + 1}$ rispetto a $z$ è $2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [\frac{\cos (z)}{z + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = \cos (z)$ e $g (z) = z + 1$ .

$2 \frac{(z + 1) \frac{d}{d z} [\cos (z)] - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (z)$ rispetto a $z$ è $- \sin (z)$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \frac{d}{d z} [z + 1]}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $z + 1$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + \frac{d}{d z} [1])}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) (1 + 0)}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z) \cdot 1}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 \frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

$2$ e $\frac{(z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((z + 1) (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (z (- \sin (z)) + 1 (- \sin (z)) - \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (z (- \sin (z))) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 (- z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 (z \sin (z)) + 2 (1 (- \sin (z))) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- \sin (z)$ per $1$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) + 2 (- \sin (z)) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) + 2 (- \cos (z))}{{(z + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 z \sin (z) - 2 \sin (z) - 2 \cos (z)}{{(z + 1)}^{2}}$