Calcolo Esempi

$f (z) = {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = 1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

$\frac{3}{2}$ e ${(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + {(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + {(x^{2} - 1)}^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Passaggio 6.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}])$

Passaggio 6.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{3}]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

$3$ e $\frac{3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (3 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} ({(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Passaggio 8.2.2

${(x^{2} - 1)}^{2}$ e $\frac{9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (9 {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 8.2.3

Sposta $9$ alla sinistra di ${(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 8.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Passaggio 8.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 8.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Passaggio 8.6.2

$2$ e $\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Passaggio 8.6.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2} x$

Passaggio 8.6.4

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $x$ .

$\frac{18 ({(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}}) x}{2}$

Passaggio 8.6.5

Scomponi $2$ da $18 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$

Passaggio 9

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x}{1}$

Passaggio 9.4

Dividi $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ per $1$ .

$9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$

Passaggio 10

Riordina i fattori di $9 {(x^{2} - 1)}^{2} {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$9 x {(1 + {(x^{2} - 1)}^{3})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{2}$