Calcolo Esempi

$f (y) = y \ln (1 + e^{y})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (1 + e^{y})$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (1 + e^{y})] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = 1 + e^{y}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + e^{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + e^{y}$ .

$y (\frac{1}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{1 + e^{y}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [1 + e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + e^{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} (0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]) + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{y}{1 + e^{y}} e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 5.1

$\frac{y}{1 + e^{y}}$ e $e^{y}$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\ln (1 + e^{y})$ per $1$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \ln (1 + e^{y})$

Passaggio 6

Per scrivere $\ln (1 + e^{y})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + e^{y}}{1 + e^{y}}$ .

$\frac{y e^{y}}{1 + e^{y}} + \frac{\ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) \cdot 1 + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

Passaggio 8.1.1.2

Moltiplica $\ln (1 + e^{y})$ per $1$ .

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}}{1 + e^{y}}$

Passaggio 8.1.2

Riordina i fattori in $y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y}) e^{y}$ .

$\frac{y e^{y} + \ln (1 + e^{y}) + e^{y} \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$

Passaggio 8.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{y} y + e^{y} \ln (1 + e^{y}) + \ln (1 + e^{y})}{1 + e^{y}}$