Calcolo Esempi

$f (y) = x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3} y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 x^{3} - y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{3}$ rispetto a $x$ è $- y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Passaggio 5

Poiché $y^{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y^{3} + 0$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Somma $4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3} - 3 y x^{2} + 2 y^{2} x - y^{3}$

Passaggio 6.2

Riordina i termini.

$4 x^{3} - y^{3} - 3 x^{2} y + 2 y^{2} x$