Calcolo Esempi

$f (y) = (y + 2) e^{x (y + 2)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y + 2$ e $g (y) = e^{x (y + 2)}$ .

$(y + 2) \frac{d}{d y} [e^{x (y + 2)}] + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x (y + 2)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x (y + 2)$ .

$(y + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x (y + 2)]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(y + 2) (e^{u} \frac{d}{d y} [x (y + 2)]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x (y + 2)$ .

$(y + 2) (e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [x (y + 2)]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x (y + 2)$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y + 2]$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x \frac{d}{d y} [y + 2]) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x (1 + \frac{d}{d y} [2])) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x (1 + 0)) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} (x \cdot 1) + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} \frac{d}{d y} [y + 2]$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} (1 + \frac{d}{d y} [2])$

Passaggio 3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} (1 + 0)$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)} \cdot 1$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $e^{x (y + 2)}$ per $1$ .

$(y + 2) e^{x (y + 2)} x + e^{x (y + 2)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(y + 2) e^{x y + x \cdot 2} x + e^{x (y + 2)}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y + 2) e^{x y + x \cdot 2} x + e^{x y + x \cdot 2}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(y + 2) e^{x y + 2 \cdot x} x + e^{x y + x \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$(y + 2) e^{x y + 2 x} x + e^{x y + 2 x}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$e^{x y + 2 x} x (y + 2) + e^{x y + 2 x}$