Calcolo Esempi

$f (x) = y \ln (x y) + 1$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y \ln (x y) + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y \ln (x y)] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (x y)] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d y} [y \ln (x y)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (x y)$ .

$y \frac{d}{d y} [\ln (x y)] + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$y (\frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$y (\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y])) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (\frac{1}{x y} (x \cdot 1)) + \ln (x y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (\frac{1}{x y} (x \cdot 1)) + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y (\frac{1}{x y} x) + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.7

$\frac{1}{x y}$ e $x$ .

$y \frac{x}{x y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{x}{x y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{1}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.9

$y$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.10

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{y} + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $\ln (x y)$ per $1$ .

$1 + \ln (x y) + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + \ln (x y) + 0$

Passaggio 3.2

Somma $1 + \ln (x y)$ e $0$ .

$1 + \ln (x y)$