Calcolo Esempi

$f (x) = x {(x - 4)}^{3} + 3$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x {(x - 4)}^{3} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 4$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.9

Moltiplica ${(x - 4)}^{3}$ per $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Somma $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ e $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

${(x - 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1

Usa il teorema binomiale.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $16$ per $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3} + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.2.4

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x {(x - 4)}^{2}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi ${(x - 4)}^{2}$ come $(x - 4) (x - 4)$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x ((x - 4) (x - 4))$

Passaggio 4.3.4

Espandi $(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x (x - 4) - 4 (x - 4))$

Passaggio 4.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))$

Passaggio 4.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 4.3.5.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)$

Passaggio 4.3.5.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x (x^{2} - 8 x + 16)$

Passaggio 4.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

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Passaggio 4.3.7.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.7.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Passaggio 4.3.7.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 4.3.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Passaggio 4.3.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{2 + 1} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Passaggio 4.3.7.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 x (- 8 x) + 3 x \cdot 16$

Passaggio 4.3.7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 3 x \cdot 16$

Passaggio 4.3.7.3

Moltiplica $16$ per $3$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x \cdot x + 48 x$

Passaggio 4.3.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.8.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.8.1.1

Sposta $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 (x \cdot x) + 48 x$

Passaggio 4.3.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} + 3 \cdot - 8 x^{2} + 48 x$

Passaggio 4.3.8.2

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 + 3 x^{3} - 24 x^{2} + 48 x$

Passaggio 4.4

Somma $x^{3}$ e $3 x^{3}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64 - 24 x^{2} + 48 x$

Passaggio 4.5

Sottrai $24 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 x - 64 + 48 x$

Passaggio 4.6

Somma $48 x$ e $48 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$