Calcolo Esempi

$f (x) = x \cdot {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 7 - 3 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - 3 x$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (- \frac{1}{2} {(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.2

${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.3

Sposta ${(7 - 3 x)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.4

$x$ e $\frac{1}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 \frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12.2

$3$ e $\frac{x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1 + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 16

Moltiplica ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 17

Per scrivere ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 18

${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} (2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}})}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 20

Moltiplica ${(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ per ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 20.1

Sposta ${(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}} {(7 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 20.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{3 - 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 20.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3 x + {(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 21

Semplifica ${(7 - 3 x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (7 - 3 x) \cdot 2}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 22

Sposta $2$ alla sinistra di $7 - 3 x$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (7 - 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23

Semplifica.

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Passaggio 23.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 2 \cdot 7 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 23.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 23.2.1.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{3 x + 14 + 2 (- 3 x)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{3 x + 14 - 6 x}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.2.2

Sottrai $6 x$ da $3 x$ .

$\frac{- 3 x + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.4

Riscrivi $14$ come $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.6

Riscrivi $- (3 x - 14)$ come $- 1 (3 x - 14)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 14)}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 23.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x - 14}{2 {(7 - 3 x)}^{\frac{3}{2}}}$