Calcolo Esempi

$f (x) = x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x (50 - 0.1 \sqrt{x}) - (35 x + 500)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 \sqrt{x})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}] + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.4

Poiché $50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $50$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 0.1 x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 0.1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (0 - 0.1 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (0 - 0.1 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.13

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (0 - 0.1 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.14

$- 0.1$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.15

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (0 + \frac{- 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (0 - \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.17

Sottrai $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ da $0$ .

$x (- \frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.18

$x$ e $\frac{0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x \cdot 0.1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.19

Sposta $0.1$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{0.1 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.20

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{0.1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.21

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.21.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.21.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.21.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{0.1 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.21.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.21.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{0.1 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.21.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{0.1 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.21.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + (50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.22

Moltiplica $50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 0.1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.23

Per scrivere $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.24

$- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{0.1 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.1 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.26

Moltiplica $2$ per $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1 x^{\frac{1}{2}} - 0.2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.27

Sottrai $0.2 x^{\frac{1}{2}}$ da $- 0.1 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 2.28

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 + \frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- (35 x + 500)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (35 x + 500)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [35 x + 500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - \frac{d}{d x} [35 x + 500]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $35 x + 500$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [500])$

Passaggio 3.3

Poiché $35$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $35 x$ rispetto a $x$ è $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [500])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [500])$

Passaggio 3.5

Poiché $500$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $500$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 3.6

Moltiplica $35$ per $1$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - (35 + 0)$

Passaggio 3.7

Somma $35$ e $0$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 1 \cdot 35$

Passaggio 3.8

Moltiplica $- 1$ per $35$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 50 - 35$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $35$ da $50$ .

$- \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 15$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$15 - \frac{0.3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scomponi $0.3$ da $0.3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$15 - \frac{0.3 (x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 4.3.3

Frazioni separate.

$15 - (\frac{0.3}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Passaggio 4.3.4

Dividi $0.3$ per $2$ .

$15 - (0.15 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1})$

Passaggio 4.3.5

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$15 - (0.15 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $0.15$ per $- 1$ .

$15 - 0.15 x^{\frac{1}{2}}$