Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x - x^{8}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - x^{8}}$ come ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{8}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - x^{8}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - x^{8}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(x - x^{8})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{8}] + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{8}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{8}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{8}]) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (8 x^{7})) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 15

Moltiplica ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 8 x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Riordina i termini.

$(1 - 8 x^{7}) \frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $1 - 8 x^{7}$ per $\frac{x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 16.3

Per scrivere ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.4

${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(1 - 8 x^{7}) x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x - 8 x^{7} x + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.3

Moltiplica $x^{7}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 16.6.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{x - 8 (x \cdot x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{7}$ .

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Passaggio 16.6.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x - 8 (x^{1} x^{7}) + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x - 8 x^{1 + 7} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.3.3

Somma $1$ e $7$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.4

Moltiplica ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 16.6.4.1

Sposta ${(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.4.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + {(x - x^{8})}^{1} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.5

Semplifica ${(x - x^{8})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + (x - x^{8}) \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 8 x^{8} + x \cdot 2 - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - x^{8} \cdot 2}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 8 x^{8} + 2 \cdot x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.9

Somma $x$ e $2 x$ .

$\frac{- 8 x^{8} + 3 x - 2 x^{8}}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.10

Sottrai $2 x^{8}$ da $- 8 x^{8}$ .

$\frac{- 10 x^{8} + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.11

Scomponi $x$ da $- 10 x^{8} + 3 x$ .

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Passaggio 16.6.11.1

Scomponi $x$ da $- 10 x^{8}$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + 3 x}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.11.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.6.11.3

Scomponi $x$ da $x (- 10 x^{7}) + x \cdot 3$ .

$\frac{x (- 10 x^{7} + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.7

Scomponi $- 1$ da $- 10 x^{7}$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) + 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.8

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7}) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.9

Scomponi $- 1$ da $- (10 x^{7}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.10

Riscrivi $- (10 x^{7} - 3)$ come $- 1 (10 x^{7} - 3)$ .

$\frac{x (- 1 (10 x^{7} - 3))}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x (10 x^{7} - 3)}{2 {(x - x^{8})}^{\frac{1}{2}}}$