Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{1 + 3 e^{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 + 3 e^{x}}$ come ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + 3 e^{x}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + 3 e^{x}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{2}$ e ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.2.2

Sposta ${(1 + 3 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.2.3

$\frac{1}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + 3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [e^{x}]) + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.7

$3$ e $\frac{x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 10.1

$\frac{3 x}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 10.3

Moltiplica ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 11

Per scrivere ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 12

${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14

Moltiplica ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.1

Sposta ${(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 14.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + {(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 15

Semplifica ${(1 + 3 e^{x})}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x e^{x} + (1 + 3 e^{x}) \cdot 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 16

Sposta $2$ alla sinistra di $1 + 3 e^{x}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot (1 + 3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x e^{x} + 2 \cdot 1 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 17.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 2 (3 e^{x})}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 x e^{x} + 2 + 6 e^{x}}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.3

Riordina i termini.

$\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 17.4

Riordina i fattori in $\frac{3 e^{x} x + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x e^{x} + 6 e^{x} + 2}{2 {(1 + 3 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$