Calcolo Esempi

$f (x) = x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{\sqrt[4]{x^{3}}}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$ come ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{4}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{3}{4}}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{4}$ .

$1 - 4 (- {(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.6.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.3

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 4 (- x^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}))$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}))$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}))$

Passaggio 2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}))$

Passaggio 2.12

$\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$1 - 4 (- x^{- \frac{3}{2}} \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.13

$\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ e $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{2}}}{4})$

Passaggio 2.14

Moltiplica $x^{- \frac{1}{4}}$ per $x^{- \frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.14.1

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 (x^{- \frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{4}})}{4})$

Passaggio 2.14.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.3

Per scrivere $- \frac{3}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.14.4.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.14.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.6.2

Sottrai $1$ da $- 6$ .

$1 - 4 (- \frac{3 x^{\frac{- 7}{4}}}{4})$

Passaggio 2.14.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - 4 (- \frac{3 x^{- \frac{7}{4}}}{4})$

Passaggio 2.15

Sposta $x^{- \frac{7}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 4 (- \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}})$

Passaggio 2.16

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$1 + 4 \frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Passaggio 2.17

$4$ e $\frac{3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Passaggio 2.18

Moltiplica $4$ per $3$ .

$1 + \frac{12}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Passaggio 2.19

Scomponi $4$ da $12$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Passaggio 2.20

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.20.1

Scomponi $4$ da $4 x^{\frac{7}{4}}$ .

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{\frac{7}{4}})}$

Passaggio 2.20.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{\frac{7}{4}}}$

Passaggio 2.20.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{3}{x^{\frac{7}{4}}}$