Calcolo Esempi

$f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \cos (2 x) + \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \sin (2 x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 \cos (2 x) - 4 \sin (2 x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $\cos (2 x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Passaggio 5

Frazioni separate.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Passaggio 6

Converti da $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Passaggio 7

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune.

$2 \tan (2 x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Passaggio 8.2

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Passaggio 9

Frazioni separate.

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Passaggio 10

Converti da $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Passaggio 11

Dividi $0$ per $1$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0 \sec (2 x)$

Passaggio 12

Moltiplica $0$ per $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) + 2 = 0$

Passaggio 13

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \tan (2 x) = - 2$

Passaggio 14

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \tan (2 x) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \tan (2 x) = - 2$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \tan (2 x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 14.2.1.2

Dividi $\tan (2 x)$ per $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 14.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$\tan (2 x) = - 1$

Passaggio 15

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arctan (- 1)$

Passaggio 16

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 17

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 17.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 17.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Passaggio 17.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 17.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Passaggio 17.3.2.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Passaggio 18

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 19

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 19.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 19.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{4}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Passaggio 19.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Passaggio 19.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Passaggio 19.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 19.3.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Passaggio 19.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Passaggio 20

La soluzione dell'equazione $2 x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{π}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \cos (2 (- \frac{π}{8})) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{8}$ nel numeratore.

$4 \cos (2 \frac{- π}{8}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cos (2 \frac{- π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$4 \cos (\frac{- π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \cos (- \frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.3

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$4 \cos (\frac{7 π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$4 \cos (\frac{π}{4}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 22.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{8}$ nel numeratore.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{8})$

Passaggio 22.1.7.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 (4)})$

Passaggio 22.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 4})$

Passaggio 22.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{- π}{4})$

Passaggio 22.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 22.1.9

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 22.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$2 \sqrt{2} - 4 (- \sin (\frac{π}{4}))$

Passaggio 22.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} - 4 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 22.1.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.12.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$2 \sqrt{2} - 4 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.1.12.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.1.12.3

Elimina il fattore comune.

$2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 22.1.12.4

Riscrivi l'espressione.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2})$

Passaggio 22.1.13

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 22.2

Somma $2 \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Passaggio 23

$x = - \frac{π}{8}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{π}{8}$ è un minimo locale

Passaggio 24

Trova il valore di y quando $x = - \frac{π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{π}{8}$ nell'espressione.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (- \frac{π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{8})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 (4)})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{- π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.3

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (- \frac{π}{8}) = - \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (- \frac{π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{8}))$

Passaggio 24.2.1.6.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 (4)}))$

Passaggio 24.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{- π}{2 \cdot 4}))$

Passaggio 24.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{- π}{4})$

Passaggio 24.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4})$

Passaggio 24.2.1.8

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 24.2.1.9

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 24.2.1.10

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 24.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 24.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 24.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 24.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{π}{8}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 24.2.2.3.2.4

Dividi $- \sqrt{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - \sqrt{2}$

Passaggio 24.2.3

La risposta finale è $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Passaggio 25

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{8}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \cos (2 (\frac{3 π}{8})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 (4)}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cos (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \cos (\frac{3 π}{4}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$4 (- \cos (\frac{π}{4})) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ nel numeratore.

$4 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- \sqrt{2}) - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 26.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.6.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 (4)})$

Passaggio 26.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 4})$

Passaggio 26.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 26.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 2 \sqrt{2} - 4 \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 26.1.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} - 4 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 26.1.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1.9.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$- 2 \sqrt{2} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 26.1.9.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 \sqrt{2} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 26.1.9.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 26.2

Sottrai $2 \sqrt{2}$ da $- 2 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Passaggio 27

$x = \frac{3 π}{8}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{8}$ è un massimo locale

Passaggio 28

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{8}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{8})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 (4)})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4})) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{8}) = - \cos (\frac{3 π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{8}) = \cos (\frac{π}{4}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 1 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{8}))$

Passaggio 28.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.1.5.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 (4)}))$

Passaggio 28.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 4}))$

Passaggio 28.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 28.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

Passaggio 28.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 28.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 28.2.2.2

Somma $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 28.2.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{8}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 28.2.2.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = \sqrt{2}$

Passaggio 28.2.3

La risposta finale è $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Passaggio 29

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - \cos (2 x) + \sin (2 x)$ .

$(- \frac{π}{8}, - \sqrt{2})$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{8}, \sqrt{2})$ è un massimo locale

Passaggio 30